140억개의 비선형 기본단위인 뉴런으로 구성되어 있는 뇌의 활동기구와 뇌파 발생기구를 이해하기 위해서는 비선형적 분석방법이 요구된다. 종래의 시계열 분석 방법으로 자주 사용되는 푸리에 변환에 의한 파워 스펙트럼 분석이나 상관함수 자기 회기 모델등의 선형이론으로는 비선형계인 카오스 역학계의 성질을 이해할 수 없다.
카오스 역학계의 특징은 초기 조건 민감성 (sensitive dependence on initial conditions)에 의한 궤도 불안정성 ( orbital instability) , 장기 예측불가능성 (long- term unpredictability) , 자기 상사성(self similarity) 등으로써 카오스 역학계의 이러한 성질을 정량화한 Lyapunov exponent와 Correlation dimension, Entropy등을 이용하면 카오스 역학계를 구별하고 특징지울 수 있게 된다. 그런데 그동안 뇌 신경과학 분야에서 뇌파의 발생기구가 비선형적이며 카오스 역학계의 성질을 가진다는 것이 최근에 밝혀졌다. 그리고 인간의 생리적 상태에 따라 역학계의 성질이 변화하는 것을 관찰할 수 있었다.
본 연구는 인간의 생리 상태에 따라 뇌파의 비선형적 카오스 성질이 변화되는 것에 착안하여 그 범위를 확대하여 질병, 건강상태의 정도에 따라 카오스 역학계를 정량화하는 비선형 매개 변수인 Lyapunov exponent와 Correlation dimension, Entropy 등의 변화를 분석함으로써 뇌의 작용 원리를 이해하고 뇌의 활동 상태를 규정지으려는데 그 목적이 있다.
뇌파 측정기구에 의해 특정 상태에 있는 피실험자의 뇌파를 측정하여 얻은 실제의 시계열 데이타를 n차원의 위상공간의 상태변수로 나타내어 뇌의 비선형적 성질을 이해하기 위하여 Takens의 Embedding theorem을 이용한다.[17]
가) Embedding Theorem
Takens의 Embedding theorem 에 의하면 n차원의 컴펙트한 다양체 Mn 과 C2 급 사상 f: Mn --> M2 , g: Mn -->R이 주어졌을때 V(z)= (g(z), g(f(z)), g(f2(z)),...,g(fn(z)))로 정의 된 V: Mn -->Rm 은 m>=2n+1을 만족하면 일반적으로 embedding된다. embedding이 되면 실제 뇌에서 일어나는 작용과 물리적 성질이 실제 데이타에 의해 새로 재구성된 위상 공간에 그대로 보존되게 된다.
m>=2n+1을 만족하는 위상공간을 재구성 한 후 시계열 데이타를
통해 어트렉터(attracter, 끌개)를 구성하여 그 구조를 이해한다.
뇌파에 의해 재구성된 위상공간의 어트렉터 구조를 이해하기 위해
어트렉터의 기하학적 성질을 정량화한 Correlation dimension과 카오스의
역학적 성질을 타내는 Lyapunov exponent,Entropy등을 계산하여 분석한다.
그리고 뇌의 의식 상태 변화에 따른 변수들의 변화를 분석한다.
나) Correlation dimension
카오스 역학계에 의해 생성된 시계열 데이타는 stretching과 folding에 의해 기하학적으로 자기 상사 구조(self similarity)를 가지므로 어트렉터는 정수가 아닌 소수 차원을 가지게 된다. 카오스 역학계의 한 특징인 자기 상사성을 정량화한 비정수의 프랙탈 차원을 이용하여 뇌의 의식 상태를 규정할 수 있게 된다.
Grassberger와 Procaccia는 상관 적분(correlation integral)이라고 불리는 양을 계산하여 프랙탈 차원의 척도 중의 하나인 correlation dimension을 구하는 방법을 제안 하였다.상관 적분은 다음과 같이 정의된다.
단, 이때 H(t) 는 heavyside function으로
H(t) = 1 (t>=0) 0 (t<0)
이다.
이렇게 정의된 상관 적분은 적당한 r에 대하여
Cm(r) rv(m)
v(m)은 correlation exponent
m은 correlation dimension
을 만족하게 된다.
따라서 m(r)log C = v(m)logr을 통해 m(r)log C 와 log r을 각각 y축, x 축으로 그려보면 그 기울기를 통해 v(m)를 알 수 있는데 만약 실제 어트렉터의 차원보다도 재구성 상태공간의 차원 m이 더 크면 어트렉터는 Embedding theorem을 만족하여 v(m)은 m과 거의 같게 되어 correlation dimension을 구할 수 있다.
지금까지 수면 상태나 단순 수리 계산시에 뇌의 비선형 역학계의 변화하여 correlation dimension도 그 값이 변한다는 것이 Babloyantz와 Mayer, Kress, Rapp, Xu등에 의하여 밝혀 졌다.
따라서 Alzheimer's disease, Schizophrenia, Alcoholic등의
발병 가능성과 뇌의 의식 상태의 변화를 감지할 수 있는 척도로 correlation
dimension은 유용할 것이라 생각된다.[22]
다) Lyapunov exponent
correlation dimension이 카오스 역학계의 기하학적 구조를 정량화한 양이라면 Lyapunov exponent는 역학적인 성질을 정량화한 값이다. 카오스의 특징중에 하나는 초기 조건에 민감하게 의존하여 궤도가 불안정하다는 것이다. 즉 초기에는 작은 값으로 떨어져 있는 궤도가 시간이 흐름에 따라 급속하게 멀어지게 되는데 단위 시간당 멀어지는 정도를 지수함수로 표현하였을때 지수값을 Lyapunov exponent라 한다. 따라서 Lyapunov exponent가 양수값을 가지면 카오스 시스템이라 할 수 있고 0이나 음수값을 가지면 안정한 시스템이라 할 수 있다[24].
위상 공간에서 각각의 기저 벡터 방향에 대한 Lyapunov exponent의 spectrum을 이용하여 어트렉터의 프랙탈 차원을 정량화한 지표 중 하나인 Lyapunov dimension 을 구할 수 있다[21]. Lyapunov exponent를 큰 순서대로 바꾸어 나열해서 더할 때 음이 아닌 최대 정수를 j라 하면 Lyapunov dimension은 다음과 같이 주어진다.
지금까지 뇌파의 Lyapunov exponent를 이용한 분석에 의하면 혼수 상태나 수면상태보다도 α파가 나타날때의 뇌의 상태가 보다 카오스적이라는 것. 즉 더욱 활동적인 상태임 이 밝혀졌다. 따라서 Lyapunov exponent 또한 뇌의 의식 상태를 정의하는 훌륭한 변수가 될 수 있음을 알 수 있다[25].
라) Entropy
Lyapunov exponent와 마찬가지로 카오스 상태를 정량적으로 기술할 수 있는 양으로Entropy 가 있다[17]. Entropy에는 metric entropy와 topological entropy가 있다. Kolmogorov와 Sinai에 의해 정의된 metric entropy는 K-S entropy라고도 하는데 카오스 궤도가 진행함에 따라 정보를 만들어 내는 비율을 말한다.
카오스 궤도는 초기 조건에 민감성을 가지고 있기 때문에 만약
두 초기 조건이 우리의 측정 정확도로는 구별할 수 없다할 지라도
시간이 흐름에 따라 두 궤도가 서로 다르게 진행하면 그 변화유을
통해 두 초기조건을 보다 정밀한 정확도로 구별해 낼 수 있게 된다.
즉 시간이 흐름에 따라 카오스 궤도의 진행과정을 통해 새로운 정보를
얻어 낼 수 있게 되는데 이는 비선형 카오스 시스템에서만 가능하다.
따라서 metric entropy가 양수값을 가지면 카오스 시스템이라 할 수
있고 , metric entropy가 0을 가지면 안정된 시스템이라 할 수 있다.
그리고 metric entropy는 양수의 Lyapunov exponent의 합보다 클
수 없다는 사실이 Ruelle(1989)에 의해 증명됨에 따라 쉽게 그 값을
추정할 수 있게 되었다. Topological entropy는 Adler, Konheim, McAndrew에
의해 도입되었다. topological entropy는 metric entropy와 같은 원리에
의해 정의되어 있으나 metric entropy가 같은 invariant measure의
개념을 도입하여 정의된데 반해 topological entropy는 partition을
나누어 map 자체에 대해 이해할 수 있는 개념으로 보다 기하학적인
측면이 강조되었다고 할 수 있다. Metric entropy와 topological
entropy는 시스템을 continuous,invertible map에 의해 변환을 하여도
그 값이 변하지 않으므로 시스템의 성질을 잘 나타내어 주는 매개변수라
할 수 있다. 그리고 두 시스템의 isomorphism을 이해하는데 중요한
척도로 두 entropy를 사용할 수 있다.
마) Wavelet Transform
시계열 데이타를 Takens의 Embedding theorem에 의해 새로운
위상공간에서 재구성하였을때 어트렉터의 프랙탈적 성질을 이해하기
위하여 Wavelet Transform이라는 새로운 signal processing technique을
이용할 수 있다. Wavelet Transform은 Fourier Transform을 일반화한
것으로 프랙탈적인 성질을 갖는 데이타의 자기상사성을 스펙트럼으로
나타낼 수 있다.
바) Bispectrum
EEG신호의 Bispectrum을 구하여 두가지 변수 즉, Quadratic Nonlinearity와 Quadratic Phase Coupling 울 추출 할 수 있다. Bispectrum이란 신호의 triple correlation의 2차원 푸리에 변환으로 정의된다. 이 값은 신호를 발생하는 시스템인 뇌 기능의 비선형적인 움직임을 반영한다. 특히 신호전달의 과정에서, 제곱에 관련된 연결 특징이 어떻게 달라졌는지를 파악할 수 있도록 해준다[20]. 구체적으로 Quadratic nonlinearity는 Bispectrum값을 전 주파수영역에서 평균한 값으로 얻어질 수 있다.
뇌 기능 중 어떠한 주파수들 사이에 quadratic phase coupling이
우세한지를 볼려면 Bispectrum을 적절히 normalize한 bicoherence를
구해보면 된다. 여기서는 bicoherence의 최대 피크값을 나타내는 두개의
주파수를 구하고, 이를 Quadratic Phase Coupling 이라 부른다. 또는
신호의 Quadratic phase coupling이라 부른다. 신호의 quadratic phase
coupling이 우세한 주파수의 변화를 조사함으로써 뇌의 상태변화를
정성적으로 알 수 있다.
사) EEG amplitude
EEG장비의 측정조건을 변화시키지 않았을때 외부에서 가하는
자극의 크기 또는 내부의 신경생리학적 변화에 의해 신호의 크기가
전반적으로 커지거나 작아지는 현상을 보인다. 이때 신호의 평균값
및 분산값을 구하여 변수로 취급할 수 있다. 일반적으로 자극의 크기가
크거나 신경흥분상태 일때 이 값이 커진다.
아) Neural Net
EEG 신호처리시 주어지는 각각의 변수값은 대체적으로 판단을
할때 경향성을 보이기는 하나 아직 상태를 뚜렷이 구별짓는 값으로
존재하기 힘들다. 따라서 각 상태에 대해 여러가지 변수값을 얻어서
구별해야 하는 상황을 특징지워야 한다. 여기서는 artificial neural
net을 이용하여 다음과 같은 계산을 한다. 총 layer수는 4개이고 input
neuron은 변수의 수만큼 정하고, output neuron은 구별해야 하는 상황의
수로 결정한다. 중간에 있는 2개의 hidden layer의 neuron 수는 대략
변수의 수의 2/3 정도로 하는 것이 좋다. Learning algorithm은 일반적인
back propagation을 이용하여 대략 0.5정도의 learning parameter가
요구된다. Learning에 의해 결정된 각각의 weight 는 새로운 데이타를
진단하는데 적용된다.
최종 수정일 1996년 11월 30일 배병훈 , 주식회사 락싸
